Krystalografické soustavy

Většina vlastností pevných látek souvisí s jejich strukturou. Tyto vlastnosti (elektrické, mechanické, optické a magnetické) se často značně od sebe liší v závislosti na tom, v jaké krystalografické soustavě pevná látka krystalizuje.

V roce 1850 se francouzský krystalograf Auguste Bravais zabýval otázkou, kolika různými způsoby lze v prostoru uspořádat atomy (modelované tuhými kuličkami) za podmínky, že okolí každého z nich je stejné. Zjistil, že to lze provést 14 způsoby. Pro každý z nich lze nalézt minimální prostorový útvar, jehož posouváním (translací) v prostoru získáme celý krystal.

Krystal a jeho části.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Takový základní motiv nazýváme elementární buňkou. Elementární buňky se pravidelně řadí v prostoru podle prodloužených hran rovnoběžnostěnu, kterými jsou určeny tři krystalografické osy. Soustava elementárních buněk pak tvoří tzv. krystalickou mřížku a místa, ve kterých jsou částice umístěny, se nazývají uzly krystalické mřížky. Nejmenší vzdálenost částic v mřížce je řádově 10^–10 m. Délka hrany elementární buňky se nazývá mřížková konstanta krystalové mřížky ve směru dané hrany. Jednotlivé rovnoběžnostěny budeme charakterizovat velikostmi jejich stran a, b, c a protilehlými úhly α, β, γ.

Elementární buňka.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Principiálně existuje jen omezený počet možných krystalových mřížek. Toto omezení je dáno především možnostmi pravidelného řazení základních motivů tak, aby byl zcela vyplněn daný prostor. Budeme–li uvažovat vyplnění plochy rovinnými mřížkami, existuje pět vzájemně odlišných motivů, které takovou plochu beze zbytku zaplní: kosodélník, obdélník, kosočtverec, čtverec a rovnostranný trojúhelník. Podobně lze nalézt systematiku zaplnění trojrozměrného prostoru (tedy při vrstvení takových motivů) tak, aby byla zachována příslušná symetrie rovinné mřížky. Tzv. Bravaisovy mřížky zachovávají maximální symetrii a minimální vzdálenosti uzlových bodů. Mezi další tvary krystalové mřížky patří plošně a prostorově centrovaná buňka. Podle vztahu parametrů a, b, c, α, β a γ, resp. podle příslušné symetrie můžeme 14 elementárních buněk sdružit podle Christiana Samuela Weisse do 7 krystalografických soustav (trojklonná, jednoklonná, kosočtverečná, čtverečná, šesterečná, krychlová a klencová). Krystaly první soustavy mají jen střed souměrnosti, další pak postupně jednu, tři, pět, sedm a devět rovin souměrnosti. Různé látky krystalizující ve stejných krystalických soustavách se liší jen velikostí a vzdáleností částic.

Každý krystal popisujeme pomocí vektoru, který má následující vlastnosti. Má počátek v počátku soustavy souřadnic a končí v jednom z uzlů elementární buňky. Průměty vektoru do jednotlivých os soustavy souřadnic jsou rovny celistvému násobku rozměrů elementární buňky a, b, c. Tato tři čísla upravíme společným dělitelem tak, aby byla nejmenší. Získaná tři čísla zapíšeme do hranatých závorek [m n p]. Pokud je některé z nich záporné, napíšeme znaménko minus nad toto číslo.

Charakteristiky krystalu.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Další charakteristikou krystalu jsou roviny popsané pomocí tzv. Millerových indexů (h k l), které poprvé použili W. Whewell a J. G. Grassmann. Indexy byly pojmenovány podle profesora mineralogie v Cambridge W. H. Millera, který se zasloužil o jejich všeobecné rozšíření. Přitom volba souřadnic je stejná, jako při určování směrů.

Laueogram.
Zdroj: KARLSON, P. Odhalujeme taje přírody. Praha: Česká grafická unie.

První důkaz o existenci krystalických mřížek přišel až v roce 1912, kdy byla na návrh Maxe von Laueho objevena difrakce rentgenových paprsků na krystalové mřížce, kterou provedli Walter Friedrich a Paul Knipping. Otec a syn William Henry Bragg a William Laurence Bragg zjistili, že difrakce je vlastně selektivní obraz na mřížkových rovinách krystalu, a tak byla experimentálně potvrzena představa krystalické mřížky. Metoda se nazývá rentgenová strukturní analýza a dají se s její pomocí stanovit struktury sloučenin anorganických, organických i biologických, pokud jsou ve formě krystalického vzorku o rozměrech alespoň 0,1 mm. Každá látka, na kterou dopadají rentgenové paprsky je zdrojem elektromagnetického záření s vlnovou délkou stejnou nebo téměř stejnou jako mají paprsky dopadající. Tyto paprsky rozptýlené jednotlivými atomy mají neměnný fázový rozdíl. V pevných látkách, kde vzdálenost částic je srovnatelná s vlnovou délkou rentgenového záření je možné pozorovat interferenční obrazec. Ke studiu struktury krystalů se používá i elektronová mikroskopie, ke studiu povrchu krystalu se používá rastrovací elektronová mikroskopie, difrakce pomalých elektronů nebo difrakce rychlých elektronů.

Zajímavost z fyziky:
Změřením mřížkové konstanty křemíku se dá určit hodnota Avogadrovy konstanty s přesností čtyř až pěti miliontin procenta. Přesnosti několika desetitisícin procenta dosáhl již v 60. letech minulého století český vědec Martin Černohorský. Používal obyčejnou rentgenku, záznam na fotografický film a z výpočetní techniky maximálně logaritmické tabulky.

Martin Černohorský.
Zdroj: commons.wikimedia.org. Under Creative Commons.