Topologie se zabývá vlastnostmi povrchů a obecných tvarů, neměří délky ani úhly. Považuje dva objekty za stejné, jestliže je možné jeden z nich spojitou deformací převést na druhý. Je povoleno ohýbání, natahování, smršťování, nesmí se řezat, lepit apod.
Topologové se zabývají klasifikací povrchů. Jednou z možností je klasifikace podle počtu otvorů. Třeba koblih s jedním otvorem nelze žádným způsobem transformovat na míč. Kdežto koblih s jedním otvorem lze transformovat na šálek čaje, který má také jeden otvor (ucho).
Další možnou klasifikací povrchů je podle počtu stran povrchů. Běžný papír má dvě strany. Existují ale speciální plochy, které mají pouze jednu stranu. Příkladem je Möbiův pásek nebo Kleinova láhev.
Augustus Möbius se proslavil objektem, který se později začal označovat jako Möbiova páska. Tu si vyrobíme snadno z pruhu papíru tak, že nejprve oba konce přiložíme k sobě až vznikne kruhová obruč a pak jeden konec otočíme o 180° a nakonec oba konce slepíme k sobě. Když začneme kreslit tužkou čáru uprostřed tak se brzy dostaneme zpět do výchozího bodu a čára bude přitom nakreslená na obou stranách proužku, aniž bychom překročili hranu. Zkuste si podobný pokus s obyčejným slepeným proužkem papíru. Möbiova páska má jednu pozoruhodnou vlastnost: má jen jednu stranu. Jestliže po pásce poleze třeba mravenec, pak se mu podaří navštívit celý povrch pásky, tedy obě původní strany. Möbiova páska má tedy jen jednu stranu. O tom se přesvědčíme třeba nabarvením pásky. Když začneme barvit jednu stranu, tak plynule přejdeme na stranu druhou.
Möbiova páska.
Zdroj: commons.wikimedia.org. Under Creative Commons.
Möbiova páska představuje jednostranný povrch s jednou hranou. Může existovat jednostranná plocha, která dokonce nemá okraj? Může a v roce 1882 ji objevil Felix Klein a označuje se jako Kleinova láhev, protože její tvar láhev připomíná. Obyčejná plocha, třeba kulová nebo válcová, má vnitřek a vnějšek. To Kleinova láhev nemá. Vnitřek plynule přechází ve vnějšek, obě strany nelze rozlišit. Na rozdíl od Möbiovy pásky nemá Kleinova láhev ani okraj. Kleinovu láhev nelze fyzicky v třírozměrném prostoru sestavit.
Kleinova láhev.
Zdroj: commons.wikimedia.org. Under Creative Commons.
Použité zdroje:
[1] CRILLY, T. Matematika. 50 myšlenek, které musíte znát. 1. vydání. Praha: Slovart, 2010. ISBN: 978-80-7391-409-7.
[2] STEWART, I. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. ISBN 978-80-7363-292-2.
[3] STEWART, I. Truhlice matematických pokladů profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. ISBN 978-80-7363-527-5.
