Pythagorejská čísla jsou taková tři kladná čísla, že součet čtverců dvou z nich dává čtverec třetího čísla. Jsou to například čísla 3-4-5 (32 + 42 = 52), 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 20-99-101 atd. Podle Pythagora jsou tato čísla zadaná vztahy
Kde n je přirozené číslo Podle Platona jsou tato čísla daná těmito vztahy
Kde n je opět přirozené číslo. Takto získáme nekonečně mnoho pythagorejských čísel, ale ne všechny. Další metodu přinesl Eukleides v 10. knize svých Základů. Dokázal, že takových trojic kladných čísel je nekonečně mnoho. Můžeme je vyjádřit v obecném tvaru pomocí libovolných přirozených čísel m, n
Kde m a n jsou nesoudělná přirozená čísla, n je větší než m a jedno z nich je sudé. Pythagorejskou trojicí jsou i libovolné násobky pythagorejských trojic, které získáme z uvedených vztahů. Jako příklad uveďme trojici 3, 4, 5, kterou vynásobíme třeba dvěma. Nová trojice 6, 8, 10 je také pythagorejská, ale z Eukleidových vztahů vypočítat nelze.
Pythagorejskou trojici čísel můžeme získat i zkombinováním již známých trojic. Jestliže máme dvě pythagorejské trojice a, b, c a A, B, C, které splňují vztahy a2 + b2 = c2 a A2 + B2 = C2. Pak platí (aA – bB)2 + (aB + bA)2 = (cC)2.
Pythagorejská čísla mají řadu aplikací. Pokud potřebujeme vytyčit v přírodě pravý úhel a nemáme k dispozici úhelník, tak použijeme pythagorejská čísla 3, 4, 5. Vzdálenost 3 a 4 naneseme na dvě ramena, která mají svírat pravý úhel a pak změříme úhlopříčku. Pokud není přesně 5, tak úhel není pravý.
Použité zdroje:
[1] SEIBERT, J. Pythagorejské trojice trojúhelníkových čísel. Matematika Fyzika Informatika: časopis pro výuku na základních a středních školách, 2004/2005, roč.14, s. 385-393. ISSN 1210-1761.
[2] STEWART, I. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. ISBN: 978-80-7363-292-2.0.
