Edutorium:
Pythagorova věta

Historie

Věta pojmenovaná po řeckém matematikovi Pythagorovi byla formulovaná již dříve Babyloňany a Číňany. Na babylonských hliněných tabulkách z 18. století před n. l se objevil součet 3² + 4² = 5². Používal se k vytyčování oltářů. Pythagoras nebo někdo z jeho školy zveřejnil první důkaz věty.

Pythagoras.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Pavel Trnka. Under Creative Commons.

Teorie

Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami stran libovolného pravoúhlého trojúhelníku v euklidovské rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran. Věta zní: 

Součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou.

Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice

kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a, b.

Pravoúhlý trojúhelník.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Pythagorovu větu zná téměř každý, její důkaz zvládne málokdo, i když jich existuje cca 400. Jeden z nich vymyslel i bývalý americký prezident J. A. Garfield. Kromě exponátu v Techmanii nás o její platnosti přesvědčí třeba tento jednoduchý důkaz.

Jeden z důkazů pythagorovy věty.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Čtverce v Pythagorově větě můžeme nahradit i jinými plošnými obrazci (půlkružnicí, obdélníkem, trojúhelníkem, pětiúhelníkem) za předpokladu, že jsou si navzájem podobné a jejich strana je shodná s délkou příslušné strany trojúhelníku. Součet obsahů těchto obrazců nad odvěsnami bude opět shodný s obsahem obrazce nad přeponou.

Pythagorovu větu můžeme zobecnit pro obecný trojúhelník do tvaru tzv. kosinové věty

kde a, b, c jsou strany trojúhelníku.

Zajímavost z teorie čísel:
Pythagorejská čísla jsou taková tři kladná čísla, že součet čtverců dvou z nich dává čtverec třetího čísla. Jsou to například čísla 3, 4, 5 (3² + 4² = 5²) nebo 5, 12, 13. Eukleides dokázal, že takových trojic kladných čísel je nekonečně mnoho. Můžeme je vyjádřit v obecném tvaru pomocí libovolných přirozených čísel

Pythagorejská čísla mají řadu aplikací. Pokud potřebujeme vytyčit v přírodě pravý úhel a nemáme k dispozici úhelník, tak použijeme pythagorejská čísla 3, 4, 5. Vzdálenost 3 a 4 naneseme na dvě ramena, která mají svírat pravý úhel a pak změříme úhlopříčku. Pokud není přesně 5, tak úhel není pravý.