V době, kdy ještě nebyly kalkulačky, počítací stroje zkonstruovalo jen pár nadšenců, byla práce počtářů pěkná dřina. Pojďme si přiblížit několik početních operací, na které dnes máme na kakulačce tlačítko, a u některých vlastně nevíme, co se za ním skrývá.
Dnes používáme početní operace založené na indicko-arabském vzoru, které se poprvé objevili ve spise al-Chwárizmího už v 9. století. Jeho popis se vztahoval k záznamu čísel na deskách pokrytých prachem, kde bylo snadné nahrazovat jedny číslice jinými na témž místě. Tuto výhodu si podržely i záznamy rydly do voskových destiček, které se používaly v Evropě. Postupné zlevňování papíru umožnilo jeho běžné použití i k pomocným výpočtům, ale na něm zaspané číslice nebylo snadné nahradit jinými, proto se škrtaly a nové číslice se zapisovaly nad ně. Ve středověku tak vzniklo několik variant početních algoritmů. Luca Pacioli jich ve svém díle z roku 1494 uvádí několik desítek. Těžkopádnost řady z nich byla způsobena tím, že se počítalo zleva doprava. Proto bylo nutné dílčí výsledky měnit.
Všechny metody násobení a dělení předpokládají znalost malé násobilky.
Metoda galea/batello
Jedná se o algoritmus, který dostal název podle tvaru, do jakého se číslice zapisují. Ten tvar připomíná loď nebo člun.
Násobení a dělení zdvojováním
Tato metoda se používala už ve starém Egyptě. Jako samostatnou operací uvádí zdvojování a půlení i Al Chvárizmí ve svém díle Algoritmi de numero Indorum. Spočívá v tom, že se násobení čísel převede na zdvojnásobování a pak na sčítání. Postup si vysvětlíme na příkladu.
Dělení zdvojováním má opačný postup než násobení.
Cauchyho komplementární násobení
Podle Augustina Cauchyho je možné součin dvou čísel nejpohodlněji vypočítat pomocí tzv. komplementárního násobení. Obecně je možné tuto metodu zapsat tak, že součin dvou čísel a ∙ b získáme ze vztahu
Kde čísla a´a b´ představují jiná čísla, která v součtu dají stejnou hodnotu jako součet čísel a a b. Postup si vysvětlíme na příkladu.
Speciálním případem komplementárního násobení je zápis čísel a a b ve tvaru a = z + x a b = z + y. Pokud za čísla a´ a b´ zvolíme a´ = 2z a b´ = x + y, pak pro součin dostaneme
Pokud zvolíme z = 5, získáme pravidlo zvané regula ignavi, které umožňuje redukovat malou násobilku na násobilku do pěti. Toto pravidlo umožňuje násobit na prstech. Např. při násobení 6 ∙ 8 = 10 (1 + 3) + (5 – 1)(5 - 3) = 40 + 8 = 48. Na prstech jedné ruky zvedneme jeden prst a na druhé ruce tři prsty. Součet zvednutých prstů je čtyři a součin nezvednutých prstů je osm. Zjistili jsme, že 6 ∙ 8 = 4 ∙ 10 + 4 ∙ 2 = 48, tedy stejně jako podle předchozího vztahu.
Výhodou tohoto postupu je možnost použít ho na složitější násobení např. troj- nebo čtyřciferných čísel při volbě např. z = 100. Tato metoda se používala na přelomu 19. a 20. století a k jejímu použití bylo třeba tabulek součinů, které vydal u nás např. J. Ph Kulik.
Násobení podle ruského nevolníka
Čísla, která chceme mezi sebou vynásobit, napíšeme do dvou sloupců. Číslo v prvním sloupci budeme postupně dělit dvěma dokud nedostaneme číslo jedna. Číslo ve druhém sloupci budeme souběžně násobit dvěma. Výsledky píšeme vedle sebe, v každém kroku na samostatný řádek. Na závěr sečteme ta čísla ve druhém sloupci, u nichž je v prvním sloupci liché číslo.
Metoda gelosia/graticola/quadrilatero
Jedná se o algoritmus, který dostal název podle tvaru, do jakého se číslice zapisují. Ten tvar připomíná žaluzie v oknech, dlaždice nebo čtyřúhelník. V 16. století ji popsal Ganeša ve svém komentáři k práci Bháskary II Lílávatí. Název gelosia pochází z pozdější doby z Itálie. Tuto metodu zařadil Luca Pacioli do svého díla Summa.
Připravíme si čtyřúhelník s úhlopříčkami zprava doleva. Jednoho činitele zapíšeme nahoru, druhého vpravo. Pak do každého čtverce vepíšeme výsledek součinu čísla v příslušném sloupci a řádku. Nakonec sčítáme šikmé sloupce, začínáme vpravo dole.
Násobení védských Árjů
Metoda násobení, kterou používal tento východní národ během druhého tisíciletí před n. l. se jmenuje vertikální a diagonální sútra. Tato metoda (zapsaná dnešní symbolikou) vychází z toho, že čísla v desítkové soustavě můžeme zapsat jako (10a + b) ∙ (10c + d) = 100ac + bd + (ad + cb) ∙ 10.
Použité zdroje:
[1] CRILLY, T. Velké otázky. Matematika. Praha: Knižní klub, 2012. 1. vydání. ISBN: 978-80-242-3596-7.
[2] JANČAŘÍK, A. Početní algoritmy II – násobení. Učitel matematiky, leden 2007, roč. 15, č. 2 (62), s. 72–78. ISSN 1210–9037.
[3] MOLNÁR, J. – MACHAČÍKOVÁ, I. Co z historie matematiky do vyučování? Sborník Dva dny s didaktikou matematiky 2011.
[4] PORUBSKÝ, Š. Ako rýchlo vieme a môžeme násobiť. 30. mezinárodní konference Historie matematiky, Velké Meziříčí, 21. 8. – 25. 8. 2008, s. 173–179 1. vydání. Praha: Matfyzpress, 2008. ISBN 978-80-7378-048-7.
[5] Encyklopedická edice, listy, matematici. ISBN 80–860–44–05–X.
