Věda a technika v pozadí
Kuželosečka

Historie

Apollónios z Pergy je autorem osmisvazkového díla Kuželosečky. První čtyři knihy se dochovaly v řečtině, další tři v arabském překladu a poslední se ztratila. Apollóniův přístup ke kuželosečkám se neobvykle velkou všeobecností odlišuje od metod všech jeho předchůdců. Zatímco do Apollónia se každý z třech druhů kuželoseček získával z různých druhů kruhových kuželů, Apollónius je všechny získával z libovolného kruhového kuželu bez ohledu na to, či je přímý nebo kosý. Jako první zavedl dodnes používané pojmenování pro kuželosečky: elipsa, parabola a hyperbola. Apollóniova metoda předstihla metodu analytické geometrie. Objevují se v ní první náznaky souřadnicového systému.

Teorie

Všechny známé kuželosečky můžeme vyrobit řezáním dvojkuželu. Představte si dva kužele spojené ve vrcholu, které jsou nekonečné. Jestliže budeme kužel řezat rovinou kolmou na osu kužele, dostaneme kružnici. Když tuto rovinu trošku nakloníme, řezem bude elipsa. Při dalším naklánění roviny se nám řez náhle "otevře", dostali jsme parabolu. Stačí jen malé vychýlení roviny a řez bude dvojdílný, protože rovina v této poloze protne oba dva kužele. Řezem je tentokrát hyperbola.

Vznik kuželoseček řezem kuželu.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Mezi kuželosečky se řadí i bod, přímka nebo dvě různoběžné přímky. Jak musíme vést rovinu řezu, aby vznikly i tyto tzv. nevlastní (degenerované, singulární) kuželosečky?

Podívejme se podrobně na tři kuželosečky. Elipsa je množina všech bodů roviny, které  mají od dvou navzájem různých pevných bodů E, F konstantní součet vzdáleností 2a, přičemž platí: 0 < |EF| < 2e < 2a. Tato písmena označují základní charakteristiky elipsy: a hlavní poloosa elipsy, b vedlejší poloosa elipsy, e excentricita elipsy  e² = a² - b², S střed elipsy, A, B hlavní vrcholy elipsy, C, D vedlejší vrcholy elipsy, E, F ohniska elipsy. 

Základní charakteristiky elipsy.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

S elipsou se setkáme v nebeské mechanice jako trajektorie dvojhvězd, dráhy planet apod. Elipsu lze zkonstruovat pomocí zahradnické metody. Do země zapíchneme dva kolíky, které představují ohniska elipsy (tj. jejich vzdálenost je 2e). Na kolíky připevníme špagát délky 2a a vezmeme třetí kolík, pomocí kterého napneme špagát a pohybujeme jím: všechny místa, která kolíkem na zemi označíme, jsou body elipsy.

Konstrukce elipsy zahradnickou metodou.
Zdroj: commons.wikimedia.org. Public domain.

Hyperbola je množina všech bodů roviny, které mají od dvou navzájem různých pevných bodů E, F konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností 2a, přičemž platí: 0 < 2a < |EF| = 2e. Tato písmena označují základní charakteristiky hyperboly: a hlavní poloosa hyperboly, b vedlejší poloosa hyperboly, e excentricita hyperboly e² = a² + b², A, B vrcholy hyperboly, E, F ohniska hyperboly. Jestliže a = b, tak se hyperbola nazývá rovnoosá.

 
Základní charakteristiky elipsy.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Hyperbolické trajektorie pozorujeme v nebeské mechanice, jako závislost elektrostatického nebo gravitačního potenciálu tělesa na vzdálenosti apod.

Parabola je množina všech bodů roviny, které  mají stejnou vzdálenost od bodu F a dané přímky d, která tímto bodem neprochází. Bod F se nazývá ohnisko a přímka d se nazývá řídící přímka. Základní charakteristikou paraboly je parametr p, který představuje vzdálenost ohniska a řídící přímky.

Základní charakteristiky elipsy.
Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Magda Králová. Under Creative Commons.

Tvar paraboly má dráha družice opouštějící Zemi 2. kosmickou rychlostí, dráha tělesa vrženého šikmo vzhůru (neuvažujeme-li odpor vzduchu), řez reflektorem, zrcadlem dalekohledu.